場合の数の問題

2012年の普通部の問題です。


A と B の 2 チームが対戦し、先に 4 回勝った方が優勝となる野球の試合があります。
① 引き分けがない場合で、6 回試合をして A が優勝するときの勝ち負けを表すと、 例えば、次のようになります。

1回 2回 3回 4回 5回 6回
× ×

この例以外に、6 回目の試合で A の優勝が決まるのは何通りありますか。

② 引き分けがある場合で、6 回目の試合で優勝が決まるのは何通りありますか。
(解説と解答)

4勝して勝ちで、6戦するわけですから、勝敗としては4勝2敗です。最後が勝ちになるわけだから5回のうち3回が勝ち、2回が負け。したがって1回から5回の中で負けを2回選べばよいことになります。
これは5つの中から2つを選ぶ組み合わせだから
5×4÷2=10
になるので、10 通りになります。
この例を除くので 10-1=9 通りになります。
(答え)9 通り

4勝1敗1引き分け・・・(あ)
4勝0敗2引き分け・・・(い)
の2つの場合が考えられます。
最後に勝って優勝ですから、1回目から5回目の試合では
3勝 1 敗1引き分け 3勝 0 敗2引き分けです。
(あ)は5回の中から1回の引き分けと1回の負けを選ぶのでこの場合は5×4=20 通り
(い)は同じですから 10 通りずつ。
したがって合計は 10+20=30 通り ということになります。
これがそれぞれ2チームに考えられるので、30×2=60 通り

(答え)60 通り

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楽に力がつく方法はないのか?
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算数で解き方を書かせる学校の狙い
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制服

普通部は黒の詰襟です。

丸帽、詰襟は伝統的な制服で、そのまま塾高、大学の制服と続いていきます。

大学で制服を着ているのは体育会の学生ぐらいですが、部によってはそれもブレザーなどに代わったところもあります。

中等部と湘南は基本的にブレザーですが、これは式服といって入学式や卒業式などのような公式行事に着用します。

それ以外は比較的緩やかになっていて、普段ネクタイをしめている生徒はあまり多くはありません。

ちなみに志木高は塾高と同じ詰襟でしたが、今は完全に私服になっています。

学校によって制服はいろいろですが、普通部以外はだんだん自由になってきています。

が、普通部は変わりません。普通部は普段持つかばんも指定されています。案外よく出来ていますが、リュックにもショルダーにもなり、なかなか容量もあります。

春、明らかに荷物の方が大きい普通部生を見かけます。後ろに倒れそうですが、これもしばらくすると大きくなって楽に持てるようになるものです。

やはり生徒の成長は早いですね。

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立体に関する問題
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しつこく考える
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速さに関する問題

2015年慶應湘南の問題です。


ある会社は、川の下流にある船着き場Pから25kmはなれた上流にある船着き場Qまで荷物を運んでいる。この川の流れの速さは毎時2kmである。
この会社は船Aと船Bの2そうを持っており、船Aと船Bの、静水時の速さはどちらも荷物を積んでいれば毎時12km、荷物を積んでいなければその1.5倍の速さになる。積むことのできる荷物の量も等しい。
船Aは毎日午前8時にPを出発し、その2時間後に船BがPを出発する。どちらの船もPで荷物を積んで、Qに着いたら荷物を降ろし、荷物を積まずにPまで戻る。これを船着き場が閉まる午後7時までくり返す。ただし、船着き場が閉まる前にPに戻れなくなるような船は、Pを出発しない。また、荷物の積み下ろしの時間は考えないものとする。
(1)船がPとQの間を往復するのにかかる時間は何時間何分ですか。
(2)船Aと船Bが1日の中で最後にすれちがう地点のPからの距離は何kmですか。
(3)運ばなければならない荷物の量が増えてしまい、この会社は次の2つの対策を考えた。この2つの対策を両方行うと、1日に運ぶことのできる荷物の量はいままでの何倍になりますか。
・船着き場を閉める時間を2時間おそくする。
・速さが同じで、積むことのできる荷物の量が1.5倍である船Cを追加する。船Cは午前9時にPを出発し、同様にPとQの間を往復する。


【解説と解答】
(1)静水時の時速は荷物があるときは12km、ないときは12×1.5=18km。Pが下流でQが上流です。したがって船AはPからQまでは10km、QからPまでは20kmの時速になるので、25÷10+25÷20=2.5+1.25=3.75時間=3時間45分
(答え)3時間45分

(2)船Bも同じく往復で3時間45分かかるが、Aよりも2時間出発が遅いことになります。これをグラフにすると

となり、2往復すると3時間45分×2=7時間30分なので、3回往復すると11時間15分となり、19時までに終わらない。
したがって最後にすれ違うのはPになるので、三角形PQRと三角形PSTの相似からQP:PT=105:120=7:8
Pからは25÷(7+8)×7=11$$\frac{2}{3}$$
(答え)11$$\frac{2}{3}$$km

(3)船着き場が21時までになると、Aはもう1回行けます。しかしBは17時30分+3時間45分=21時15分ですから、行けません。
Cは9時に出ると、Aより1時間遅いだけなので3回行けます。
したがってA、Bの量を【1】とすると、対策前は【4】であったのに対して、対策後は【3】+【1.5】×3+【2】=【9.5】になるので、
9.5÷4=2.375倍(=2$$\frac{3}{8}$$倍)
(答え)2$$\frac{3}{8}$$倍

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水溶液に関する問題
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作業する問題の増加
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慶應を出る選択

慶應に入れば基本的に慶應義塾大学へは全員推薦されます。(成績が推薦レベルに達すれば、の話ではありますが。)

しかし、あえて慶應に進まない、という場合があります。

まず、慶應の学部にない方面に進学をしたい、と考える場合。歯科などはその例でしょう。他にも慶應義塾大学でやっていない、ということはあります。

また、枠に漏れるという場合もある。例えば医学部は推薦される枠があるから、それに漏れた場合、他大学の医学部を受けることになるでしょう。

そういう子は、もちろん少数ではあるが、しかし、自分の意思を全うするという意味においては当然の選択をしているのです。だから、慶應に入ったからと言って、慶應義塾大学に進むかどうかはわからない。

これから何がしたくなるか、何になりたいか、によって新たな選択が出てくるので、別に慶應義塾大学に行ってしまう、と考える必要はないのです。

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もう一度やったときに、できないといけないという感覚
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長い目で見ていよう
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図形の移動に関する問題

2015年普通部の8番です。


下の図のように、同じ半径の3つの円が一列に並んでいます。アの円が矢印の向きにイの円、ウの円に沿って移動します。

 ① アの円が一周して元の位置にもどるまでに、アの円の中心が動いたあとの曲線を解答用紙にかきなさい。
 ② 円の半径が6cmのとき、①の曲線の長さを求めなさい。円周率は3.14とします。


【解説と解答】
普通部はコンパス、定規、分度器を持参しますので、作図の問題は出題される可能性があるわけですが、今年はこれが作図問題になりました。

正三角形をしっかりコンパスで作図した上で、青い線を描きます。

で、あとはこの青い線の長さを出します。

半径が12cmになることに気をつけましょう。12×2×3.14×$$\frac{240}{360}$$×2=32×3.14=100.48

(答え)100.48cm

日頃からコンパス、定規、分度器は筆箱の中に入れて、なるべく使うようにしてください。

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第225回 縁が見つかる子
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同じ指導法でも
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