入試問題解説」カテゴリーアーカイブ

平面図形の問題

2023年慶應普通部の出題です。

下の図は四角形ABHG、BCDH、DEFHは長方形で、三角形FGHは直角三角形です。AD=BEのとき、( あ )の角度を求めなさい。

【解説と解答】

長方形ACDGについてADと同じ対角線をCGし、長方形BCEFについて対角線BEと同じ対角線をCFとします。
CG=CFから三角形CGFは二等辺三角形になり、角DFHが49°、角BFCが16°になるので、角CGFも65°だから、角CGDは65-41=24°
角GDAも24°だから(あ)は16+24+90=130
(答え)130°

平面図形に関する問題

2022年慶應普通部の出題です。

下の図のように,点Pは直線CD上にあり,点Aと点Pを直線で結びました。AB=BC=CP=DE=EAのとき, ○あの角度を求めなさい。

【解説と解答】

四角形BCDEは等脚台形なので、BEとCDは平行。
角RBC=30°角CBE=180-30=150°角ABE=210―150=60°より
三角形ABEは正三角形。
AB=BC=CP=BE=PEでBEとCPは平行なので、四角形BCPEはひし形。
角AEP=60°+30°=90° AE=PEから三角形APEは直角二等辺三角形
角PAE=45°より○あは60-45=15°
(答え)15°

容積に関する問題

2022年慶應義塾湘南藤沢中等部の問題です。

図1のような、ふたのない1辺12 cm の立方体の容器が水平な床に置かれている。この立方体には、図1のように、高さ6cmと10 cm の仕切り板ア、イが、底面ABCDを3等分する位置にまっすぐ取り付けられている。仕切られた底面を○あ、○い、○うとし、仕切り板の厚さは考えないものとする。また、図2は面FBCGを正面にして見た図である。


(1)容器が空の状態で、○あの真上から水を毎秒48 cm3 ずつ入れたとき、容器の中の水がいっぱいになるのは何秒後ですか。
(2)容器が空の状態で、○うの真上から水を毎秒48 cm3 ずつ入れたとき、○あの部分の水面の高さが底から2cmになるのは何秒後ですか。
(3)容器を水でいっぱいに満たし、図3のように、辺ABを床につけたまま、静かに容器を45°かたむけて水をこぼし、もとにもどす動作を行った。この動作を行った後、容器に残っている水の量を求めなさい。

【解説と解答】

(1)12×12×12÷48=36
(答え)36秒後
(2)○うの部分には4×12×10
○いの部分には4×12×6 ○あの部分には4×12×2入るから、
10+6+2=18秒
(答え)18秒
(3)

斜線部に水が残るので、この面積は12×12÷2+4×10-4×4=72+24=96
96×12=1152
(答え)1152cm3

文章題

2022年慶應普通部の問題です。

あるお店では、1個15円、18円、25円の3種類のお菓子を売っています。どのお菓子も1個以上選び、合計金額が301円になるように買います。
(1)18円のお菓子を12個買うと、15円のお菓子と25円のお菓子はそれぞれ何個買えますか。
(2)お菓子の買い方は全部で何通りありますか。

【解説と解答】
(1)
18×12=216 301-216=85円
(15円、25円)=(4、1)となります。
(答え)15円 4個 25円 1個
(2)18円×2=36円のとき、301円-36円=265円
(15円、25円)=(1、10)(6、7)(11、4)(16、1)から4通り
18円×7=126円のとき、301円-126円=175円
(15円、25円)=(0、7)(5、4)(10、1)で必ず1個は買わないといけないので2通り
18×17=306円は301円を超えてしまいます。
(1)とあわせて7通り。
(答え)7通り

容積に関する問題

2022年慶應普通部の出題です。

図1のように、底面が半径5cmの円である円柱の容器Aの中に、底面が半径4cmの円で高さが5cmである円柱の容器Bが置いてあり、容器Bの中には水が入っています。図2のような○あの面が正方形である直方体Cを、○あの面を容器Bの底につくように入れると、容器Bから水があふれ、容器Aの水の深さが2cmになりました。このとき、真上から見ると、図3のように直方体Cは容器Bにぴったりと入りました。はじめ、水は容器Bの底面から何cmのところまで入っていましたか。ただし、容器の厚さは考えないものとし、円周率は3.14とします。

【解説と解答】
Bの容積は4×4×3.14×5=80×3.14
Cの体積は底面の正方形の対角線の長さが4×2=8cmになるので、
8×8÷2×3.14=32×3.14
一方あふれ出た水は(5×5-4×4)×3.14×2=18×3.14
したがって水は80×3.14-32×3.14+18×3.14=66×3.14
なので、66×3.14÷(4×4×3.14)=4.125cm(=4&1/8cm)
(答え)4&1/8cm